|x^2+2*sqrt(5)*x-4|<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\left(x^{2} + 2 \sqrt{5} x\right) - 4}\right| < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\left(x^{2} + 2 \sqrt{5} x\right) - 4}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4 \geq 0$$
o
$$\left(x \leq -3 - \sqrt{5} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(3 - \sqrt{5} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \sqrt{10} - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} + \sqrt{10}$$

2.
$$x^{2} + 2 \sqrt{5} x - 4 < 0$$
o
$$x < 3 - \sqrt{5} \wedge -3 - \sqrt{5} < x$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
$$x_{4} = - \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$$


$$x_{1} = - \sqrt{10} - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} + \sqrt{10}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
$$x_{4} = - \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = - \sqrt{10} - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} + \sqrt{10}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
$$x_{4} = - \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \sqrt{10} - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
$$x_{4} = - \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} + \sqrt{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{10} - \sqrt{5}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{10} - \sqrt{5} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\left(x^{2} + 2 \sqrt{5} x\right) - 4}\right| < 1$$
$$\left|{-4 + \left(2 \sqrt{5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{5} - \frac{1}{10}\right) + \left(- \sqrt{10} - \sqrt{5} - \frac{1}{10}\right)^{2}\right)}\right| < 1$$

                          2                                    
     /1      ___     ____\        ___ /1      ___     ____\    
-4 + |-- + \/ 5  + \/ 10 |  - 2*\/ 5 *|-- + \/ 5  + \/ 10 | < 1
     \10                 /            \10                 /    
    

pero

                          2                                    
     /1      ___     ____\        ___ /1      ___     ____\    
-4 + |-- + \/ 5  + \/ 10 |  - 2*\/ 5 *|-- + \/ 5  + \/ 10 | > 1
     \10                 /            \10                 /    
    

Entonces
$$x < - \sqrt{10} - \sqrt{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \sqrt{10} - \sqrt{5} \wedge x < - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x4      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \sqrt{10} - \sqrt{5} \wedge x < - 2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$$
$$x > - \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} \wedge x < - \sqrt{5} + \sqrt{10}$$