x+sqrt(x-2)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + \sqrt{x - 2} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \sqrt{x - 2} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x + \sqrt{x - 2} = 2$$
$$\sqrt{x - 2} = 2 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x - 2 = \left(2 - x\right)^{2}$$
$$x - 2 = x^{2} - 4 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 5$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-1) * (-6) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$

Como
$$\sqrt{x - 2} = 2 - x$$
y
$$\sqrt{x - 2} \geq 0$$
entonces
$$2 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 2$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \sqrt{x - 2} \geq 2$$
$$\frac{19}{10} + \sqrt{-2 + \frac{19}{10}} \geq 2$$

         ____     
19   I*\/ 10      
-- + -------- >= 2
10      10        
     

Entonces
$$x \leq 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 2$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1