Integral de sin2x/(sinx)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$.

         Luego que $du = - \frac{2 \cos{\left(x \right)} dx}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \right)}+ \mathrm{constant}$