Integral de 4*x^2*dx/(1+2*x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x^{3} + 1$.

      Luego que $du = 6 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \log{\left(2 x^{3} + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4}{6 u + 3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{6 u + 3}\, du = 4 \int \frac{1}{6 u + 3}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 6 u + 3$.

               Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{1}{6 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(6 u + 3 \right)}}{6}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{6 u + 3} = \frac{1}{3 \left(2 u + 1\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(2 u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{2 u + 1}\, du}{3}$

               1. que $u = 2 u + 1$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(6 u + 3 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \log{\left(6 x^{3} + 3 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \log{\left(2 x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \log{\left(2 x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$