Integral de sgrt(8-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 8 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(8 - 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{8 - 2 x} = \sqrt{2} \sqrt{4 - x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{2} \sqrt{4 - x}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{4 - x}\, dx$

      1. que $u = 4 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{2} \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{2 \sqrt{2} \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{2} \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{2} \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$