Integral de tg^43x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan^{43}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{21} \tan{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{21} - 21 u^{20} + 210 u^{19} - 1330 u^{18} + 5985 u^{17} - 20349 u^{16} + 54264 u^{15} - 116280 u^{14} + 203490 u^{13} - 293930 u^{12} + 352716 u^{11} - 352716 u^{10} + 293930 u^{9} - 203490 u^{8} + 116280 u^{7} - 54264 u^{6} + 20349 u^{5} - 5985 u^{4} + 1330 u^{3} - 210 u^{2} + 21 u - 1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{21} - 21 u^{20} + 210 u^{19} - 1330 u^{18} + 5985 u^{17} - 20349 u^{16} + 54264 u^{15} - 116280 u^{14} + 203490 u^{13} - 293930 u^{12} + 352716 u^{11} - 352716 u^{10} + 293930 u^{9} - 203490 u^{8} + 116280 u^{7} - 54264 u^{6} + 20349 u^{5} - 5985 u^{4} + 1330 u^{3} - 210 u^{2} + 21 u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{21} - 21 u^{20} + 210 u^{19} - 1330 u^{18} + 5985 u^{17} - 20349 u^{16} + 54264 u^{15} - 116280 u^{14} + 203490 u^{13} - 293930 u^{12} + 352716 u^{11} - 352716 u^{10} + 293930 u^{9} - 203490 u^{8} + 116280 u^{7} - 54264 u^{6} + 20349 u^{5} - 5985 u^{4} + 1330 u^{3} - 210 u^{2} + 21 u - 1}{u}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{21} - 21 u^{20} + 210 u^{19} - 1330 u^{18} + 5985 u^{17} - 20349 u^{16} + 54264 u^{15} - 116280 u^{14} + 203490 u^{13} - 293930 u^{12} + 352716 u^{11} - 352716 u^{10} + 293930 u^{9} - 203490 u^{8} + 116280 u^{7} - 54264 u^{6} + 20349 u^{5} - 5985 u^{4} + 1330 u^{3} - 210 u^{2} + 21 u - 1}{u} = u^{20} - 21 u^{19} + 210 u^{18} - 1330 u^{17} + 5985 u^{16} - 20349 u^{15} + 54264 u^{14} - 116280 u^{13} + 203490 u^{12} - 293930 u^{11} + 352716 u^{10} - 352716 u^{9} + 293930 u^{8} - 203490 u^{7} + 116280 u^{6} - 54264 u^{5} + 20349 u^{4} - 5985 u^{3} + 1330 u^{2} - 210 u + 21 - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 21 u^{19}\right)\, du = - 21 \int u^{19}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 u^{20}}{20}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 210 u^{18}\, du = 210 \int u^{18}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{210 u^{19}}{19}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 1330 u^{17}\right)\, du = - 1330 \int u^{17}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{665 u^{18}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5985 u^{16}\, du = 5985 \int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5985 u^{17}}{17}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 20349 u^{15}\right)\, du = - 20349 \int u^{15}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20349 u^{16}}{16}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 54264 u^{14}\, du = 54264 \int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18088 u^{15}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 116280 u^{13}\right)\, du = - 116280 \int u^{13}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{58140 u^{14}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 203490 u^{12}\, du = 203490 \int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{203490 u^{13}}{13}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 293930 u^{11}\right)\, du = - 293930 \int u^{11}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{146965 u^{12}}{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 352716 u^{10}\, du = 352716 \int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{352716 u^{11}}{11}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 352716 u^{9}\right)\, du = - 352716 \int u^{9}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{176358 u^{10}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 293930 u^{8}\, du = 293930 \int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{293930 u^{9}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 203490 u^{7}\right)\, du = - 203490 \int u^{7}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{101745 u^{8}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 116280 u^{6}\, du = 116280 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{116280 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 54264 u^{5}\right)\, du = - 54264 \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 9044 u^{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 20349 u^{4}\, du = 20349 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20349 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 5985 u^{3}\right)\, du = - 5985 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5985 u^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 1330 u^{2}\, du = 1330 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1330 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 210 u\right)\, du = - 210 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 105 u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 21\, du = 21 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{21}}{21} - \frac{21 u^{20}}{20} + \frac{210 u^{19}}{19} - \frac{665 u^{18}}{9} + \frac{5985 u^{17}}{17} - \frac{20349 u^{16}}{16} + \frac{18088 u^{15}}{5} - \frac{58140 u^{14}}{7} + \frac{203490 u^{13}}{13} - \frac{146965 u^{12}}{6} + \frac{352716 u^{11}}{11} - \frac{176358 u^{10}}{5} + \frac{293930 u^{9}}{9} - \frac{101745 u^{8}}{4} + \frac{116280 u^{7}}{7} - 9044 u^{6} + \frac{20349 u^{5}}{5} - \frac{5985 u^{4}}{4} + \frac{1330 u^{3}}{3} - 105 u^{2} + 21 u - \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{21}}{42} - \frac{21 u^{20}}{40} + \frac{105 u^{19}}{19} - \frac{665 u^{18}}{18} + \frac{5985 u^{17}}{34} - \frac{20349 u^{16}}{32} + \frac{9044 u^{15}}{5} - \frac{29070 u^{14}}{7} + \frac{101745 u^{13}}{13} - \frac{146965 u^{12}}{12} + \frac{176358 u^{11}}{11} - \frac{88179 u^{10}}{5} + \frac{146965 u^{9}}{9} - \frac{101745 u^{8}}{8} + \frac{58140 u^{7}}{7} - 4522 u^{6} + \frac{20349 u^{5}}{10} - \frac{5985 u^{4}}{8} + \frac{665 u^{3}}{3} - \frac{105 u^{2}}{2} + \frac{21 u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42} - \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40} + \frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19} - \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18} + \frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34} - \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32} + \frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5} - \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7} + \frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13} - \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12} + \frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11} - \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5} + \frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9} - \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8} + \frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7} - 4522 \sec^{12}{\left(x \right)} + \frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3} - \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{21} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{42}{\left(x \right)} - 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)} + 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)} - 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)} + 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)} - 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)} + 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)} - 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)} + 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)} - 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)} + 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)} - 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)} + 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)} - 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)} + 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)} - 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)} + 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)} - 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)} + 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{41}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{41}\, du = \frac{u^{42}}{42}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{39}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{39}\, du = \frac{u^{40}}{40}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{40}{\left(x \right)}}{40}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{37}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{37}\, du = \frac{u^{38}}{38}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{38}{\left(x \right)}}{38}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1330 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{35}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{35}\, du = \frac{u^{36}}{36}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{36}{\left(x \right)}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)}\, dx = 5985 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{33}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{33}\, du = \frac{u^{34}}{34}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{34}{\left(x \right)}}{34}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20349 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{31}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{31}\, du = \frac{u^{32}}{32}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{32}{\left(x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)}\, dx = 54264 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{29}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{29}\, du = \frac{u^{30}}{30}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{30}{\left(x \right)}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 116280 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{27}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{27}\, du = \frac{u^{28}}{28}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{28}{\left(x \right)}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)}\, dx = 203490 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{25}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{25}\, du = \frac{u^{26}}{26}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{26}{\left(x \right)}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 293930 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{23}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{24}{\left(x \right)}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)}\, dx = 352716 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{21}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{22}{\left(x \right)}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 352716 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{19}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{20}{\left(x \right)}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)}\, dx = 293930 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{17}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{18}{\left(x \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 203490 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{15}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{16}{\left(x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)}\, dx = 116280 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{13}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{14}{\left(x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 54264 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{11}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{12}{\left(x \right)}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4522 \sec^{12}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)}\, dx = 20349 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5985 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx = 1330 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 210 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42} - \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40} + \frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19} - \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18} + \frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34} - \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32} + \frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5} - \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7} + \frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13} - \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12} + \frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11} - \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5} + \frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9} - \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8} + \frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7} - 4522 \sec^{12}{\left(x \right)} + \frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3} - \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{21} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{42}{\left(x \right)} - 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)} + 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)} - 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)} + 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)} - 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)} + 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)} - 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)} + 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)} - 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)} + 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)} - 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)} + 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)} - 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)} + 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)} - 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)} + 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)} - 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)} + 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)} - 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} + 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{41}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{41}\, du = \frac{u^{42}}{42}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{40}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{39}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{39}\, du = \frac{u^{40}}{40}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{40}{\left(x \right)}}{40}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{38}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{37}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{37}\, du = \frac{u^{38}}{38}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{38}{\left(x \right)}}{38}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1330 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{36}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{35}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{35}\, du = \frac{u^{36}}{36}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{36}{\left(x \right)}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)}\, dx = 5985 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{34}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{33}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{33}\, du = \frac{u^{34}}{34}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{34}{\left(x \right)}}{34}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20349 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{32}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{31}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{31}\, du = \frac{u^{32}}{32}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{32}{\left(x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)}\, dx = 54264 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{30}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{29}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{29}\, du = \frac{u^{30}}{30}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{30}{\left(x \right)}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 116280 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{28}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{27}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{27}\, du = \frac{u^{28}}{28}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{28}{\left(x \right)}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)}\, dx = 203490 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{26}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{25}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{25}\, du = \frac{u^{26}}{26}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{26}{\left(x \right)}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 293930 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{24}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{23}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{24}{\left(x \right)}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)}\, dx = 352716 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{22}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{21}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{22}{\left(x \right)}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 352716 \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 352716 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{20}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{19}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{20}{\left(x \right)}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 293930 \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)}\, dx = 293930 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{18}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{17}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{18}{\left(x \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 203490 \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 203490 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{16}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{15}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{16}{\left(x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 116280 \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)}\, dx = 116280 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{14}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{13}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{14}{\left(x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 54264 \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 54264 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{12}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{11}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{12}{\left(x \right)}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4522 \sec^{12}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20349 \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)}\, dx = 20349 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{10}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5985 \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5985 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{8}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1330 \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx = 1330 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 210 \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 210 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 21 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \tan{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42} - \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40} + \frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19} - \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18} + \frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34} - \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32} + \frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5} - \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7} + \frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13} - \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12} + \frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11} - \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5} + \frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9} - \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8} + \frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7} - 4522 \sec^{12}{\left(x \right)} + \frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3} - \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42} - \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40} + \frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19} - \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18} + \frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34} - \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32} + \frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5} - \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7} + \frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13} - \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12} + \frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11} - \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5} + \frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9} - \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8} + \frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7} - 4522 \sec^{12}{\left(x \right)} + \frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3} - \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{42}{\left(x \right)}}{42} - \frac{21 \sec^{40}{\left(x \right)}}{40} + \frac{105 \sec^{38}{\left(x \right)}}{19} - \frac{665 \sec^{36}{\left(x \right)}}{18} + \frac{5985 \sec^{34}{\left(x \right)}}{34} - \frac{20349 \sec^{32}{\left(x \right)}}{32} + \frac{9044 \sec^{30}{\left(x \right)}}{5} - \frac{29070 \sec^{28}{\left(x \right)}}{7} + \frac{101745 \sec^{26}{\left(x \right)}}{13} - \frac{146965 \sec^{24}{\left(x \right)}}{12} + \frac{176358 \sec^{22}{\left(x \right)}}{11} - \frac{88179 \sec^{20}{\left(x \right)}}{5} + \frac{146965 \sec^{18}{\left(x \right)}}{9} - \frac{101745 \sec^{16}{\left(x \right)}}{8} + \frac{58140 \sec^{14}{\left(x \right)}}{7} - 4522 \sec^{12}{\left(x \right)} + \frac{20349 \sec^{10}{\left(x \right)}}{10} - \frac{5985 \sec^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{665 \sec^{6}{\left(x \right)}}{3} - \frac{105 \sec^{4}{\left(x \right)}}{2} + \frac{21 \sec^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$