Integral de arcsin(lnx)/(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. que $u = 1 - u^{2}$.

         Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{1 - u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}}\, du$

         1. que $u = 1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}$.

            Luego que $du = \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} du}{u}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{1 - \log{\left(x \right)}^{2}} + \log{\left(x \right)} \operatorname{asin}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$