Integral de (cos(5x))/(sin^7(5x)) dx

1. que $u = 5 x$.

   Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

   $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5 \sin^{7}{\left(u \right)}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin^{7}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin^{7}{\left(u \right)}}\, du}{5}$

      1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{7}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \sin^{6}{\left(u \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{30 \sin^{6}{\left(u \right)}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{1}{30 \sin^{6}{\left(5 x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{30 \sin^{6}{\left(5 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{30 \sin^{6}{\left(5 x \right)}}+ \mathrm{constant}$