Integral de (1+sin(3x))/(cos(3x))^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sin{\left(3 x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

2. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{1}{3 u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}$

      Método #2

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \cos^{2}{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)}}\, du}{3}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{1}{\cos{\left(u \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 \cos{\left(u \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}}$

   El resultado es: $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3 \cos{\left(3 x \right)}} + \frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{1}{3 \cos{\left(3 x \right)}}+ \mathrm{constant}$