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Resolución de integrales/ ln(1-e^x)

Integral de ln(1-e^x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     /     x\   
 |  log\1 - E / dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(1−ex) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 - e^{x} \right)}\, dx 
Integral(log(1 - E^x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(1−ex)u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - e^{x} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=−ex1−ex\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−xex1−ex) dx=−∫xex1−ex dx\int \left(- \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}}\right)\, dx = - \int \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xex1−ex=−xexex−1\frac{x e^{x}}{1 - e^{x}} = - \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−xexex−1) dx=−∫xexex−1 dx\int \left(- \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫xexex−1 dx\int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫xexex−1 dx- \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx

    Por lo tanto, el resultado es: ∫xexex−1 dx\int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx

  3. Ahora simplificar:

    xlog⁡(1−ex)−∫xexex−1 dxx \log{\left(1 - e^{x} \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(1−ex)−∫xexex−1 dx+constantx \log{\left(1 - e^{x} \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(1−ex)−∫xexex−1 dx+constantx \log{\left(1 - e^{x} \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                          /                          
  /                      |                           
 |                       |      x                    
 |    /     x\           |   x*e             /     x\
 | log\1 - E / dx = C -  | ------- dx + x*log\1 - E /
 |                       |       x                   
/                        | -1 + e                    
                         |                           
                        /
∫log⁡(1−ex) dx=C+xlog⁡(1−ex)−∫xexex−1 dx\int \log{\left(1 - e^{x} \right)}\, dx = C + x \log{\left(1 - e^{x} \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
    1                                
    /                                
   |                                 
   |       x                         
   |    x*e                          
-  |  ------- dx + pi*I + log(-1 + E)
   |        x                        
   |  -1 + e                         
   |                                 
  /                                  
  0
−∫01xexex−1 dx+log⁡(−1+e)+iπ- \int\limits_{0}^{1} \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx + \log{\left(-1 + e \right)} + i \pi 
=
= 
    1                                
    /                                
   |                                 
   |       x                         
   |    x*e                          
-  |  ------- dx + pi*I + log(-1 + E)
   |        x                        
   |  -1 + e                         
   |                                 
  /                                  
  0
−∫01xexex−1 dx+log⁡(−1+e)+iπ- \int\limits_{0}^{1} \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1}\, dx + \log{\left(-1 + e \right)} + i \pi 
-Integral(x*exp(x)/(-1 + exp(x)), (x, 0, 1)) + pi*i + log(-1 + E)
Respuesta numérica [src] 
(-0.73617977949933 + 3.14159265358979j)
(-0.73617977949933 + 3.14159265358979j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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