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Resolución de integrales/ x^3+3/ (2x^4+1)/ (2x^4+1)/(x^3+3)

Integral de (2x^4+1)/(x^3+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     4       
 |  2*x  + 1   
 |  -------- dx
 |    3        
 |   x  + 3    
 |             
/              
0
∫012x4+1x3+3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x^{4} + 1}{x^{3} + 3}\, dx 
Integral((2*x^4 + 1)/(x^3 + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x4+1x3+3=2x−6x−1x3+3\frac{2 x^{4} + 1}{x^{3} + 3} = 2 x - \frac{6 x - 1}{x^{3} + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6x−1x3+3) dx=−∫6x−1x3+3 dx\int \left(- \frac{6 x - 1}{x^{3} + 3}\right)\, dx = - \int \frac{6 x - 1}{x^{3} + 3}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          6x−1x3+3=6xx3+3−1x3+3\frac{6 x - 1}{x^{3} + 3} = \frac{6 x}{x^{3} + 3} - \frac{1}{x^{3} + 3}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫6xx3+3 dx=6∫xx3+3 dx\int \frac{6 x}{x^{3} + 3}\, dx = 6 \int \frac{x}{x^{3} + 3}\, dx

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

              Pero la integral

              −323log⁡(x+33)9+323log⁡(x2−33x+323)18+36atan⁡(236x3−33)3- \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{\sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2⋅323log⁡(x+33)3+323log⁡(x2−33x+323)3+236atan⁡(236x3−33)- \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} + \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} + 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x3+3) dx=−∫1x3+3 dx\int \left(- \frac{1}{x^{3} + 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} + 3}\, dx

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

              Pero la integral

              33log⁡(x+33)9−33log⁡(x2−33x+323)18+356atan⁡(236x3−33)9\frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

            Por lo tanto, el resultado es: −33log⁡(x+33)9+33log⁡(x2−33x+323)18−356atan⁡(236x3−33)9- \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

          El resultado es: −2⋅323log⁡(x+33)3−33log⁡(x+33)9+33log⁡(x2−33x+323)18+323log⁡(x2−33x+323)3−356atan⁡(236x3−33)9+236atan⁡(236x3−33)- \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9} + 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9\frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

      El resultado es: x2+33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9x^{2} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x4+1x3+3=2x4x3+3+1x3+3\frac{2 x^{4} + 1}{x^{3} + 3} = \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 3} + \frac{1}{x^{3} + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4x3+3 dx=2∫x4x3+3 dx\int \frac{2 x^{4}}{x^{3} + 3}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x^{3} + 3}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x3+3=x−3xx3+3\frac{x^{4}}{x^{3} + 3} = x - \frac{3 x}{x^{3} + 3}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3xx3+3) dx=−3∫xx3+3 dx\int \left(- \frac{3 x}{x^{3} + 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{x^{3} + 3}\, dx

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

              Pero la integral

              −323log⁡(x+33)9+323log⁡(x2−33x+323)18+36atan⁡(236x3−33)3- \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{\sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)6−36atan⁡(236x3−33)\frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}

          El resultado es: x22+323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)6−36atan⁡(236x3−33)\frac{x^{2}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{6} - \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−236atan⁡(236x3−33)x^{2} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        33log⁡(x+33)9−33log⁡(x2−33x+323)18+356atan⁡(236x3−33)9\frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

      El resultado es: x2+33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9x^{2} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9+constantx^{2} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9+constantx^{2} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                            /    ___       6 ___\                        
 |                                                                                                                                                     5/6     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |                        
 |    4                               /    ___       6 ___\    2/3    / 2/3    2     3 ___\   3 ___    / 2/3    2     3 ___\   3 ___    /    3 ___\   3   *atan|- ----- + ---------|      2/3    /    3 ___\
 | 2*x  + 1           2     6 ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |   3   *log\3    + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\3    + x  - x*\/ 3 /   \/ 3 *log\x + \/ 3 /            \    3         3    /   2*3   *log\x + \/ 3 /
 | -------- dx = C + x  - 2*\/ 3 *atan|- ----- + ---------| - ----------------------------- - ------------------------------ + -------------------- + ------------------------------ + ---------------------
 |   3                                \    3         3    /                 3                               18                          9                           9                            3          
 |  x  + 3                                                                                                                                                                                                  
 |                                                                                                                                                                                                          
/
∫2x4+1x3+3 dx=C+x2+33log⁡(x+33)9+2⋅323log⁡(x+33)3−323log⁡(x2−33x+323)3−33log⁡(x2−33x+323)18−236atan⁡(236x3−33)+356atan⁡(236x3−33)9\int \frac{2 x^{4} + 1}{x^{3} + 3}\, dx = C + x^{2} + \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{9} + \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x + \sqrt[3]{3} \right)}}{3} - \frac{3^{\frac{2}{3}} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{3} - \frac{\sqrt[3]{3} \log{\left(x^{2} - \sqrt[3]{3} x + 3^{\frac{2}{3}} \right)}}{18} - 2 \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           /                                /                   2\\          /                                /                 2\\
           |     3                          |  216   9*t   486*t ||          |     3                          |431   9*t   486*t ||
1 - RootSum|243*t  - 162*t - 649, t -> t*log|- --- - --- + ------|| + RootSum|243*t  - 162*t - 649, t -> t*log|--- - --- + ------||
           \                                \  647   647    647  //          \                                \647   647    647  //
−RootSum⁡(243t3−162t−649,(t↦tlog⁡(486t2647−9t647−216647)))+RootSum⁡(243t3−162t−649,(t↦tlog⁡(486t2647−9t647+431647)))+1- \operatorname{RootSum} {\left(243 t^{3} - 162 t - 649, \left( t \mapsto t \log{\left(\frac{486 t^{2}}{647} - \frac{9 t}{647} - \frac{216}{647} \right)} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(243 t^{3} - 162 t - 649, \left( t \mapsto t \log{\left(\frac{486 t^{2}}{647} - \frac{9 t}{647} + \frac{431}{647} \right)} \right)\right)} + 1 
=
= 
           /                                /                   2\\          /                                /                 2\\
           |     3                          |  216   9*t   486*t ||          |     3                          |431   9*t   486*t ||
1 - RootSum|243*t  - 162*t - 649, t -> t*log|- --- - --- + ------|| + RootSum|243*t  - 162*t - 649, t -> t*log|--- - --- + ------||
           \                                \  647   647    647  //          \                                \647   647    647  //
−RootSum⁡(243t3−162t−649,(t↦tlog⁡(486t2647−9t647−216647)))+RootSum⁡(243t3−162t−649,(t↦tlog⁡(486t2647−9t647+431647)))+1- \operatorname{RootSum} {\left(243 t^{3} - 162 t - 649, \left( t \mapsto t \log{\left(\frac{486 t^{2}}{647} - \frac{9 t}{647} - \frac{216}{647} \right)} \right)\right)} + \operatorname{RootSum} {\left(243 t^{3} - 162 t - 649, \left( t \mapsto t \log{\left(\frac{486 t^{2}}{647} - \frac{9 t}{647} + \frac{431}{647} \right)} \right)\right)} + 1 
1 - RootSum(243*_t^3 - 162*_t - 649, Lambda(_t, _t*log(-216/647 - 9*_t/647 + 486*_t^2/647))) + RootSum(243*_t^3 - 162*_t - 649, Lambda(_t, _t*log(431/647 - 9*_t/647 + 486*_t^2/647)))
Respuesta numérica [src] 
0.420765112227107
0.420765112227107

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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