Integral de 6*x^2/(x^3-8) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} - 8$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{6 x^{2}}{x^{3} - 8} = \frac{4 \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 4} + \frac{2}{x - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 \left(x + 1\right)}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx = 4 \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} + 2 x + 4$.

               Luego que $du = \left(2 x + 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. que $u = x - 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 2 \right)}$

      El resultado es: $2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x^{2} + 2 x + 4 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(x^{3} - 8 \right)}+ \mathrm{constant}$