Integral de sinxcos(cosx-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)} - 1$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} = \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\, dx = \sin{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\, dx = \cos{\left(1 \right)} \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(1 \right)}$

      El resultado es: $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sin{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$