Integral de (5*x^2+3*√x*sinx+1)/(√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(10 u^{4} + 6 u \sin{\left(u^{2} \right)} + 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{4}\, du = 10 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u \sin{\left(u^{2} \right)}\, du = 6 \int u \sin{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(u^{2} \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(u^{2} \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         El resultado es: $2 u^{5} + 2 u - 3 \cos{\left(u^{2} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \sqrt{x} - 3 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 \sqrt{x} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{2}\right) + 1}{\sqrt{x}} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 5 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{\frac{5}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \sqrt{x} - 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \sqrt{x} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{\frac{5}{2}} + 2 \sqrt{x} - 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$