Integral de 3^(4cosx+5)sinx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)} + 5$.

      Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

      $\int \left(- \frac{3^{u}}{4}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5} \sin{\left(x \right)} = 243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx = 243 \int 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5} \sin{\left(x \right)} = 243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx = 243 \int 3^{4 \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = 4 \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{4}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{243 \cdot 3^{4 \cos{\left(x \right)}}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5}}{4 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3^{4 \cos{\left(x \right)} + 5}}{4 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$