Integral de log(2*x)+(e^2)/2-2x/5 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x}{5}\right)\, dx = - \frac{\int 2 x\, dx}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{5}$

   1. Integramos término a término:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $x \log{\left(2 x \right)} - x$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{e^{2}}{2}\, dx = \frac{x e^{2}}{2}$

      El resultado es: $x \log{\left(2 x \right)} - x + \frac{x e^{2}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{x^{2}}{5} + x \log{\left(2 x \right)} - x + \frac{x e^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 2 x + 10 \log{\left(2 x \right)} - 10 + 5 e^{2}\right)}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 2 x + 10 \log{\left(2 x \right)} - 10 + 5 e^{2}\right)}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 2 x + 10 \log{\left(2 x \right)} - 10 + 5 e^{2}\right)}{10}+ \mathrm{constant}$