Integral de log(1+x/3+11)*(-3) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(-3\right) \log{\left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11 \right)}\, dx = - 3 \int \log{\left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11 \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \log{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du = 3 \int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u \log{\left(u \right)} - 3 u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 3 \left(\frac{x}{3} + 1\right) + 3 \left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11\right) \log{\left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11 \right)} - 33$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{3 \left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11\right)}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{3 \left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11}\, dx}{3}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11} = 3 - \frac{108}{x + 36}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 3\, dx = 3 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{108}{x + 36}\right)\, dx = - 108 \int \frac{1}{x + 36}\, dx$

                  1. que $u = x + 36$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 36 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 108 \log{\left(x + 36 \right)}$

               El resultado es: $3 x - 108 \log{\left(x + 36 \right)}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11} = \frac{3 x}{x + 36}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3 x}{x + 36}\, dx = 3 \int \frac{x}{x + 36}\, dx$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{x}{x + 36} = 1 - \frac{36}{x + 36}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, dx = x$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{36}{x + 36}\right)\, dx = - 36 \int \frac{1}{x + 36}\, dx$

                     1. que $u = x + 36$.

                        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(x + 36 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 36 \log{\left(x + 36 \right)}$

                  El resultado es: $x - 36 \log{\left(x + 36 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 x - 108 \log{\left(x + 36 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - 36 \log{\left(x + 36 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $9 \left(\frac{x}{3} + 1\right) - 9 \left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11\right) \log{\left(\left(\frac{x}{3} + 1\right) + 11 \right)} + 99$

2. Ahora simplificar:

   $3 x - 3 \left(x + 36\right) \log{\left(\frac{x}{3} + 12 \right)} + 108$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 x - 3 \left(x + 36\right) \log{\left(\frac{x}{3} + 12 \right)} + 108+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x - 3 \left(x + 36\right) \log{\left(\frac{x}{3} + 12 \right)} + 108+ \mathrm{constant}$