Integral de log(x-1)^(2/3)/(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x - 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x - 1}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{\frac{2}{3}}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{\frac{2}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

   Método #2

   1. que $u = x - 1$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{\frac{2}{3}}}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{2}{3}}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{\frac{2}{3}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{\frac{2}{3}}\, du = - \int u^{\frac{2}{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{\frac{2}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \log{\left(u \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{\frac{5}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$