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Resolución de integrales/ x*sinx/ e^-x*sinx

Integral de e^-x*sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo              
  /              
 |               
 |   -x          
 |  E  *sin(x) dx
 |               
/                
0
∫0∞e−xsin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{\infty} e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(E^(-x)*sin(x), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. que u=−xu = - x.

    Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

    ∫eusin⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando eusin⁡(u)e^{u} \sin{\left(u \right)}:

        que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−∫eucos⁡(u) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du.

      2. Para el integrando eucos⁡(u)e^{u} \cos{\left(u \right)}:

        que u(u)=cos⁡(u)u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

        Entonces ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)+∫(−eusin⁡(u)) du\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        2∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)−eucos⁡(u)2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto,

        ∫eusin⁡(u) du=eusin⁡(u)2−eucos⁡(u)2\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −e−xsin⁡(x)2−e−xcos⁡(x)2- \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    −2e−xsin⁡(x+π4)2- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2e−xsin⁡(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2e−xsin⁡(x+π4)2+constant- \frac{\sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                             -x    -x       
 |  -x                 cos(x)*e     e  *sin(x)
 | E  *sin(x) dx = C - ---------- - ----------
 |                         2            2     
/
∫e−xsin⁡(x) dx=C−e−xsin⁡(x)2−e−xcos⁡(x)2\int e^{- x} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
1/2
12\frac{1}{2} 
=
= 
1/2
12\frac{1}{2} 
1/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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