Integral de 4x*cos(x/4) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 4 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. que $u = \frac{x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 16 \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$

   1. que $u = \frac{x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 64 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $16 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$16 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$