Integral de ((7^(2*x))+cos(2*pi*x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{7^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7^{u}\, du = \frac{\int 7^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 7^{u}\, du = \frac{7^{u}}{\log{\left(7 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7^{u}}{2 \log{\left(7 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{7^{2 x}}{2 \log{\left(7 \right)}}$

   1. que $u = 2 \pi x$.

      Luego que $du = 2 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

   El resultado es: $\frac{7^{2 x}}{2 \log{\left(7 \right)}} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{49^{x}}{2 \log{\left(7 \right)}} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{49^{x}}{2 \log{\left(7 \right)}} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{49^{x}}{2 \log{\left(7 \right)}} + \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$