Integral de (4-x)^2-(3/x)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(\frac{3}{x}\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(\frac{3}{x}\right)^{2}\, dx$

      1. que $u = \frac{3}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{3 dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(-3\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{9}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{x}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 4 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(4 - x\right)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, dx = 16 x$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 16 x$

   El resultado es: $- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3} + \frac{9}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3} + \frac{9}{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3} + \frac{9}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 4\right)^{3}}{3} + \frac{9}{x}+ \mathrm{constant}$