Integral de 2/5(sin(3x))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{5}\, dx = \frac{2 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx}{5}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = 6 x$.

            Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{5} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{30}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{5} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{5} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$