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Resolución de integrales/ 1/sin/ cos^5/ sin^3/ 1/sin^3(x)×cos^5(x)

Integral de 1/sin^3(x)×cos^5(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     3      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫01cos⁡5(x)sin⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)^5/sin(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡5(x)sin⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡2(x)u = \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u2−2u+12u2 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u2 du=∫u2−2u+1u2 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u2=1−2u+1u2\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u) du=−2∫1u du\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          El resultado es: u−2log⁡(u)−1uu - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)−12u\frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sin⁡2(x))+sin⁡2(x)2−12sin⁡2(x)- \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡3(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

    2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u4−2u2+1u3 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{3}}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u2−2u+12u2 du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−2u+1u2 du=∫u2−2u+1u2 du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−2u+1u2=1−2u+1u2\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u) du=−2∫1u du\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            El resultado es: u−2log⁡(u)−1uu - 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)−12u\frac{u}{2} - \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        u22−log⁡(u2)−12u2\frac{u^{2}}{2} - \log{\left(u^{2} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sin⁡2(x))+sin⁡2(x)2−12sin⁡2(x)- \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)sin⁡3(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)sin⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \left(- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(sin⁡(x))- 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12sin⁡2(x)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −2log⁡(sin⁡(x))−cos⁡2(x)2−12sin⁡2(x)- 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(sin⁡2(x))+sin⁡2(x)2−12sin⁡2(x)+constant- \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(sin⁡2(x))+sin⁡2(x)2−12sin⁡2(x)+constant- \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                                    
 |    5                2                              
 | cos (x)          sin (x)      /   2   \       1    
 | ------- dx = C + ------- - log\sin (x)/ - ---------
 |    3                2                          2   
 | sin (x)                                   2*sin (x)
 |                                                    
/
∫cos⁡5(x)sin⁡3(x) dx=C−log⁡(sin⁡2(x))+sin⁡2(x)2−12sin⁡2(x)\int \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\, dx = C - \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
9.15365037903492e+37
9.15365037903492e+37

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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