Integral de 1/sin^3(x)×cos^5(x) dx
Solución
Solución detallada
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Vuelva a escribir el integrando:
sin3(x)cos5(x)=sin3(x)(1−sin2(x))2cos(x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=sin2(x).
Luego que du=2sin(x)cos(x)dx y ponemos 2du:
∫2u2u2−2u+1du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2u2−2u+1du=2∫u2u2−2u+1du
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Vuelva a escribir el integrando:
u2u2−2u+1=1−u2+u21
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Integramos término a término:
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u2)du=−2∫u1du
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Integral u1 es log(u).
Por lo tanto, el resultado es: −2log(u)
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u21du=−u1
El resultado es: u−2log(u)−u1
Por lo tanto, el resultado es: 2u−log(u)−2u1
Si ahora sustituir u más en:
−log(sin2(x))+2sin2(x)−2sin2(x)1
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
sin3(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin3(x)sin4(x)cos(x)−2sin2(x)cos(x)+cos(x)
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u3u4−2u2+1du
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que u=u2.
Luego que du=2udu y ponemos 2du:
∫2u2u2−2u+1du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2u2−2u+1du=2∫u2u2−2u+1du
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Vuelva a escribir el integrando:
u2u2−2u+1=1−u2+u21
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Integramos término a término:
-
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫1du=u
-
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−u2)du=−2∫u1du
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Integral u1 es log(u).
Por lo tanto, el resultado es: −2log(u)
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u21du=−u1
El resultado es: u−2log(u)−u1
Por lo tanto, el resultado es: 2u−log(u)−2u1
Si ahora sustituir u más en:
2u2−log(u2)−2u21
Si ahora sustituir u más en:
−log(sin2(x))+2sin2(x)−2sin2(x)1
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
sin3(x)(1−sin2(x))2cos(x)=sin(x)cos(x)−sin(x)2cos(x)+sin3(x)cos(x)
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Integramos término a término:
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que u=cos(x).
Luego que du=−sin(x)dx y ponemos −du:
∫(−u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫udu=−∫udu
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫udu=2u2
Por lo tanto, el resultado es: −2u2
Si ahora sustituir u más en:
−2cos2(x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−sin(x)2cos(x))dx=−2∫sin(x)cos(x)dx
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u1du
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Integral u1 es log(u).
Si ahora sustituir u más en:
log(sin(x))
Por lo tanto, el resultado es: −2log(sin(x))
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que u=sin(x).
Luego que du=cos(x)dx y ponemos du:
∫u31du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u31du=−2u21
Si ahora sustituir u más en:
−2sin2(x)1
El resultado es: −2log(sin(x))−2cos2(x)−2sin2(x)1
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Añadimos la constante de integración:
−log(sin2(x))+2sin2(x)−2sin2(x)1+constant
Respuesta:
−log(sin2(x))+2sin2(x)−2sin2(x)1+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 5 2
| cos (x) sin (x) / 2 \ 1
| ------- dx = C + ------- - log\sin (x)/ - ---------
| 3 2 2
| sin (x) 2*sin (x)
|
/
∫sin3(x)cos5(x)dx=C−log(sin2(x))+2sin2(x)−2sin2(x)1
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.