Integral de (2xy+sqrt(y))/y^2 dy

1. que $u = \sqrt{y}$.

   Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y}}$ y ponemos $du$:

   $\int \frac{4 u x + 2}{u^{2}}\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 u x + 2}{u^{2}} = \frac{4 x}{u} + \frac{2}{u^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{u}\, du = 4 x \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x \log{\left(u \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

      El resultado es: $4 x \log{\left(u \right)} - \frac{2}{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $4 x \log{\left(\sqrt{y} \right)} - \frac{2}{\sqrt{y}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x \log{\left(y \right)} - \frac{2}{\sqrt{y}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \log{\left(y \right)} - \frac{2}{\sqrt{y}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \log{\left(y \right)} - \frac{2}{\sqrt{y}}+ \mathrm{constant}$