Integral de (4x-((x-6)^(1/5)))/(x-6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[5]{x - 6}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5 \left(x - 6\right)^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{20 u^{5} - 5 u + 120}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{20 u^{5} - 5 u + 120}{u} = 20 u^{4} - 5 + \frac{120}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 20 u^{4}\, du = 20 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 u^{5}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-5\right)\, du = - 5 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{120}{u}\, du = 120 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $120 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $4 u^{5} - 5 u + 120 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $4 x - 5 \sqrt[5]{x - 6} + 120 \log{\left(\sqrt[5]{x - 6} \right)} - 24$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x - \sqrt[5]{x - 6}}{x - 6} = \frac{4 x}{x - 6} - \frac{1}{\left(x - 6\right)^{\frac{4}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{x - 6}\, dx = 4 \int \frac{x}{x - 6}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 6} = 1 + \frac{6}{x - 6}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6}{x - 6}\, dx = 6 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

               1. que $u = x - 6$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 6 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x - 6 \right)}$

            El resultado es: $x + 6 \log{\left(x - 6 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x + 24 \log{\left(x - 6 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 6\right)^{\frac{4}{5}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 6\right)^{\frac{4}{5}}}\, dx$

         1. que $u = x - 6$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{5}}}\, du = 5 \sqrt[5]{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $5 \sqrt[5]{x - 6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sqrt[5]{x - 6}$

      El resultado es: $4 x - 5 \sqrt[5]{x - 6} + 24 \log{\left(x - 6 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $4 x - 5 \sqrt[5]{x - 6} + 24 \log{\left(x - 6 \right)} - 24$

3. Añadimos la constante de integración:

   $4 x - 5 \sqrt[5]{x - 6} + 24 \log{\left(x - 6 \right)} - 24+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x - 5 \sqrt[5]{x - 6} + 24 \log{\left(x - 6 \right)} - 24+ \mathrm{constant}$