Integral de 2*sqrt(4-y^2) dy

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \sqrt{4 - y^{2}}\, dy = 2 \int \sqrt{4 - y^{2}}\, dy$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=4*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=4, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(y > -2) & (y < 2), context=sqrt(4 - y**2), symbol=y)

   Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\begin{cases} \frac{y \sqrt{4 - y^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} & \text{for}\: y > -2 \wedge y < 2 \end{cases}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} y \sqrt{4 - y^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} & \text{for}\: y > -2 \wedge y < 2 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} y \sqrt{4 - y^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} & \text{for}\: y > -2 \wedge y < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} y \sqrt{4 - y^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{y}{2} \right)} & \text{for}\: y > -2 \wedge y < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$