Sr Examen

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Integral de (x^3-4x+1)ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                         
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 |  \x  - 4*x + 1/*log(x) dx
 |                          
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0                           
01((x34x)+1)log(x)dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x^{3} - 4 x\right) + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx
Integral((x^3 - 4*x + 1)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      (ue4u4ue2u+ueu)du\int \left(u e^{4 u} - 4 u e^{2 u} + u e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e4u4du=e4udu4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (4ue2u)du=4ue2udu\int \left(- 4 u e^{2 u}\right)\, du = - 4 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2ue2u+e2u- 2 u e^{2 u} + e^{2 u}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        El resultado es: ue4u42ue2u+ueue4u16+e2ueu\frac{u e^{4 u}}{4} - 2 u e^{2 u} + u e^{u} - \frac{e^{4 u}}{16} + e^{2 u} - e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x4log(x)4x4162x2log(x)+x2+xlog(x)x\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} + x \log{\left(x \right)} - x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x34x)+1)log(x)=x3log(x)4xlog(x)+log(x)\left(\left(x^{3} - 4 x\right) + 1\right) \log{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} - 4 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ue4udu\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e4u4du=e4udu4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log(x)4x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (4xlog(x))dx=4xlog(x)dx\int \left(- 4 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log(x)+x2- 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x4log(x)4x4162x2log(x)+x2+xlog(x)x\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} + x \log{\left(x \right)} - x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=(x34x)+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 4 x\right) + 1.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (4x)dx=4xdx\int \left(- 4 x\right)\, dx = - 4 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x2- 2 x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x442x2+x\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x442x2+xx=x342x+1\frac{\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + x}{x} = \frac{x^{3}}{4} - 2 x + 1

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        x34dx=x3dx4\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x416\frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2x)dx=2xdx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2- x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x416x2+x\frac{x^{4}}{16} - x^{2} + x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x34x)+1)log(x)=x3log(x)4xlog(x)+log(x)\left(\left(x^{3} - 4 x\right) + 1\right) \log{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} - 4 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ue4udu\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e4u4du=e4udu4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            eu4du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log(x)4x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (4xlog(x))dx=4xlog(x)dx\int \left(- 4 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2log(x)+x2- 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: x4log(x)4x4162x2log(x)+x2+xlog(x)x\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} + x \log{\left(x \right)} - x

  2. Ahora simplificar:

    x(4x3log(x)x332xlog(x)+16x+16log(x)16)16\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} - 32 x \log{\left(x \right)} + 16 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16\right)}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(4x3log(x)x332xlog(x)+16x+16log(x)16)16+constant\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} - 32 x \log{\left(x \right)} + 16 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16\right)}{16}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(4x3log(x)x332xlog(x)+16x+16log(x)16)16+constant\frac{x \left(4 x^{3} \log{\left(x \right)} - x^{3} - 32 x \log{\left(x \right)} + 16 x + 16 \log{\left(x \right)} - 16\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                               
 |                                          4                             4       
 | / 3          \                  2       x                  2          x *log(x)
 | \x  - 4*x + 1/*log(x) dx = C + x  - x - -- + x*log(x) - 2*x *log(x) + ---------
 |                                         16                                4    
/                                                                                 
((x34x)+1)log(x)dx=C+x4log(x)4x4162x2log(x)+x2+xlog(x)x\int \left(\left(x^{3} - 4 x\right) + 1\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} - 2 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} + x \log{\left(x \right)} - x
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Respuesta [src]
-1/16
116- \frac{1}{16}
=
=
-1/16
116- \frac{1}{16}
-1/16
Respuesta numérica [src]
-0.0625
-0.0625

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.