Integral de (16-x^2)-(x-4)^4 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + 16 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(x - 4\right)^{4}\right)\, dx = - \int \left(x - 4\right)^{4}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x - 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x - 4\right)^{4} = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 16 x^{3}\right)\, dx = - 16 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 96 x^{2}\, dx = 96 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 256 x\right)\, dx = - 256 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 128 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 256\, dx = 256 x$

            El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 128 x^{2} + 256 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}$

   El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + 16 x - \frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{3}}{3} + 16 x - \frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3}}{3} + 16 x - \frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3}}{3} + 16 x - \frac{\left(x - 4\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$