Integral de (x^7+2)^6*x^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{7} + 2$.

      Luego que $du = 7 x^{6} dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{6}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{49}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{7} + 2\right)^{7}}{49}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{6} \left(x^{7} + 2\right)^{6} = x^{48} + 12 x^{41} + 60 x^{34} + 160 x^{27} + 240 x^{20} + 192 x^{13} + 64 x^{6}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{48}\, dx = \frac{x^{49}}{49}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{41}\, dx = 12 \int x^{41}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{41}\, dx = \frac{x^{42}}{42}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{42}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60 x^{34}\, dx = 60 \int x^{34}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{34}\, dx = \frac{x^{35}}{35}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{35}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 160 x^{27}\, dx = 160 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 x^{28}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 240 x^{20}\, dx = 240 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{80 x^{21}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 192 x^{13}\, dx = 192 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{96 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 64 x^{6}\, dx = 64 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{64 x^{7}}{7}$

      El resultado es: $\frac{x^{49}}{49} + \frac{2 x^{42}}{7} + \frac{12 x^{35}}{7} + \frac{40 x^{28}}{7} + \frac{80 x^{21}}{7} + \frac{96 x^{14}}{7} + \frac{64 x^{7}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{7} + 2\right)^{7}}{49}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{7} + 2\right)^{7}}{49}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{7} + 2\right)^{7}}{49}+ \mathrm{constant}$