Integral de 1/(sqrt(1+4x)^7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{4 x + 1}\right)^{7}} = \frac{1}{64 x^{3} \sqrt{4 x + 1} + 48 x^{2} \sqrt{4 x + 1} + 12 x \sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x + 1}}$

   2. que $u = \sqrt{4 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{4 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{6 u^{2} + 128 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{3} + 96 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{2} - 4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{6 u^{2} + 128 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{3} + 96 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{2} - 4} = \frac{1}{2 u^{6}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{6}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{10 \left(4 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{4 x + 1}\right)^{7}} = \frac{1}{64 x^{3} \sqrt{4 x + 1} + 48 x^{2} \sqrt{4 x + 1} + 12 x \sqrt{4 x + 1} + \sqrt{4 x + 1}}$

   2. que $u = \sqrt{4 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{4 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{6 u^{2} + 128 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{3} + 96 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{2} - 4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{6 u^{2} + 128 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{3} + 96 \left(\frac{u^{2}}{4} - \frac{1}{4}\right)^{2} - 4} = \frac{1}{2 u^{6}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{6}}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{10 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{10 \left(4 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{10 \left(4 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{10 \left(4 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}+ \mathrm{constant}$