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Resolución de integrales/ sin(x)/ x*sin(x)

Integral de x*sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p            
  /            
 |             
 |  x*sin(x) dx
 |             
/              
0
∫0pxsin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{p} x \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(x*sin(x), (x, 0, p))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(x)+sin⁡(x)+constant- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+constant- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 | x*sin(x) dx = C - x*cos(x) + sin(x)
 |                                    
/
∫xsin⁡(x) dx=C−xcos⁡(x)+sin⁡(x)\int x \sin{\left(x \right)}\, dx = C - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
-p*cos(p) + sin(p)
−pcos⁡(p)+sin⁡(p)- p \cos{\left(p \right)} + \sin{\left(p \right)} 
=
= 
-p*cos(p) + sin(p)
−pcos⁡(p)+sin⁡(p)- p \cos{\left(p \right)} + \sin{\left(p \right)} 
-p*cos(p) + sin(p)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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