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Resolución de integrales/ 1/2x+1/ (x+1/2x+1)-lnx

Integral de (x+1/2x+1)-lnx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |  /    x             \   
 |  |x + - + 1 - log(x)| dx
 |  \    2             /   
 |                         
/                          
 -1                        
e
∫e−11(((x2+x)+1)−log⁡(x)) dx\int\limits_{e^{-1}}^{1} \left(\left(\left(\frac{x}{2} + x\right) + 1\right) - \log{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(x + x/2 + 1 - log(x), (x, exp(-1), 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: 3x24\frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x24+x\frac{3 x^{2}}{4} + x

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(x)) dx=−∫log⁡(x) dx\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Por lo tanto, el resultado es: −xlog⁡(x)+x- x \log{\left(x \right)} + x

    El resultado es: 3x24−xlog⁡(x)+2x\frac{3 x^{2}}{4} - x \log{\left(x \right)} + 2 x

  2. Ahora simplificar:

    x(3x−4log⁡(x)+8)4\frac{x \left(3 x - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(3x−4log⁡(x)+8)4+constant\frac{x \left(3 x - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(3x−4log⁡(x)+8)4+constant\frac{x \left(3 x - 4 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                        2           
 | /    x             \                3*x            
 | |x + - + 1 - log(x)| dx = C + 2*x + ---- - x*log(x)
 | \    2             /                 4             
 |                                                    
/
∫(((x2+x)+1)−log⁡(x)) dx=C+3x24−xlog⁡(x)+2x\int \left(\left(\left(\frac{x}{2} + x\right) + 1\right) - \log{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{3 x^{2}}{4} - x \log{\left(x \right)} + 2 x
Simplificar
Respuesta [src] 
                -2
11      -1   3*e  
-- - 3*e   - -----
4              4
−3e−34e2+114- \frac{3}{e} - \frac{3}{4 e^{2}} + \frac{11}{4} 
=
= 
                -2
11      -1   3*e  
-- - 3*e   - -----
4              4
−3e−34e2+114- \frac{3}{e} - \frac{3}{4 e^{2}} + \frac{11}{4} 
11/4 - 3*exp(-1) - 3*exp(-2)/4
Respuesta numérica [src] 
1.54486021405821
1.54486021405821

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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