Sr Examen

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Integral de (x^3+x)/(x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1          
  /          
 |           
 |   3       
 |  x  + x   
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0            
01x3+xx21dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3} + x}{x^{2} - 1}\, dx
Integral((x^3 + x)/(x^2 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3+xx21=x+1x+1+1x1\frac{x^{3} + x}{x^{2} - 1} = x + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        1udu\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. que u=x1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        1udu\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(x1)\log{\left(x - 1 \right)}

      El resultado es: x22+log(x1)+log(x+1)\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3+xx21=x3x21+xx21\frac{x^{3} + x}{x^{2} - 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x^{2} - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x2u = x^{2}.

        Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

        u2u2du\int \frac{u}{2 u - 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u2=12+12(u1)\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            12(u1)du=1u1du2\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}

            1. que u=u1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(u1)\log{\left(u - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(u1)2\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: u2+log(u1)2\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x22+log(x21)2\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        xx21dx=2xx21dx2\int \frac{x}{x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x21u = x^{2} - 1.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x21)\log{\left(x^{2} - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x21)2\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x22+log(x21)\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22+log(x1)+log(x+1)+constant\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x22+log(x1)+log(x+1)+constant\frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                             
 |                                              
 |  3               2                           
 | x  + x          x                            
 | ------ dx = C + -- + log(1 + x) + log(-1 + x)
 |  2              2                            
 | x  - 1                                       
 |                                              
/                                               
x3+xx21dx=C+x22+log(x1)+log(x+1)\int \frac{x^{3} + x}{x^{2} - 1}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100005000
Respuesta [src]
-oo - pi*I
iπ-\infty - i \pi
=
=
-oo - pi*I
iπ-\infty - i \pi
-oo - pi*i
Respuesta numérica [src]
-42.8978096056539
-42.8978096056539

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.