Integral de e^x*(log(x)+1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u e^{u} e^{e^{u}} + e^{e^{u}}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = e^{u}$.

               Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $e^{e^{u}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         El resultado es: $u e^{e^{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x} \left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right) = \frac{x e^{x} \log{\left(x \right)} + e^{x}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u e^{\frac{1}{u}} + e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u e^{\frac{1}{u}} + e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u e^{\frac{1}{u}} + e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right) du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(-1\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x} \left(\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right) = e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u} e^{e^{u}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{e^{u}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = e^{u}$.

               Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $e^{e^{u}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(e^{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{x} \log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

      El resultado es: $e^{x} \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$