Integral de (x^2)/(1-4x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 4 x^{3}$.

      Luego que $du = - 12 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{12}$:

      $\int \left(- \frac{1}{12 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{12}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(1 - 4 x^{3} \right)}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{1 - 4 x^{3}} = - \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}\, dx$

      1. que $u = 4 x^{3} - 1$.

         Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

         $\int \frac{1}{12 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{12}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{12}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(4 x^{3} - 1 \right)}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 x^{3} - 1 \right)}}{12}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{1 - 4 x^{3}} = - \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 1}\, dx$

      1. que $u = 4 x^{3} - 1$.

         Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

         $\int \frac{1}{12 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{12}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{12}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(4 x^{3} - 1 \right)}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 x^{3} - 1 \right)}}{12}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(1 - 4 x^{3} \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(1 - 4 x^{3} \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$