Integral de (e^(3x))/sqrt(e^(3x)-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 \sqrt{u - 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u - 1}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u - 1}}\, du}{3}$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{u - 1}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{u - 1}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{u}}{3 \sqrt{e^{u} - 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{u} - 1}}\, du = \frac{\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{u} - 1}}\, du}{3}$

         1. que $u = e^{u} - 1$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{e^{u} - 1}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{e^{u} - 1}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}$

   Método #3

   1. que $u = \sqrt{e^{3 x} - 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 e^{3 x} dx}{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{e^{3 x} - 1}}{3}+ \mathrm{constant}$