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Resolución de integrales/ x/x^2/ ln^3x/ ln^3x/x^2

Integral de ln^3x/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  log (x)   
 |  ------- dx
 |      2     
 |     x      
 |            
/             
0
∫01log⁡(x)3x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}}\, dx 
Integral(log(x)^3/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u3e−u du\int u^{3} e^{- u}\, du

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

        ∫u3eu du\int u^{3} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = 3 u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6eu du=6∫eu du\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 6eu6 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −u3e−u−3u2e−u−6ue−u−6e−u- u^{3} e^{- u} - 3 u^{2} e^{- u} - 6 u e^{- u} - 6 e^{- u}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

        Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=−3u2u{\left(u \right)} = - 3 u^{2} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

        Entonces du⁡(u)=−6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 6 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

        Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6e−u) du=−6∫e−u du\int \left(- 6 e^{- u}\right)\, du = - 6 \int e^{- u}\, du

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Por lo tanto, el resultado es: 6e−u6 e^{- u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −log⁡(x)3x−3log⁡(x)2x−6log⁡(x)x−6x- \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{6 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{6}{x}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(x)3+3log⁡(x)2+6log⁡(x)+6x- \frac{\log{\left(x \right)}^{3} + 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 6}{x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)3+3log⁡(x)2+6log⁡(x)+6x+constant- \frac{\log{\left(x \right)}^{3} + 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 6}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)3+3log⁡(x)2+6log⁡(x)+6x+constant- \frac{\log{\left(x \right)}^{3} + 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} + 6}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                                                    
 |    3                    3                      2   
 | log (x)          6   log (x)   6*log(x)   3*log (x)
 | ------- dx = C - - - ------- - -------- - ---------
 |     2            x      x         x           x    
 |    x                                               
 |                                                    
/
∫log⁡(x)3x2 dx=C−log⁡(x)3x−3log⁡(x)2x−6log⁡(x)x−6x\int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{6 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{6}{x}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-1.10226274662272e+24
-1.10226274662272e+24

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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