Integral de xdx/cbrt(1-x^2)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt[3]{1 - x^{2}}\right)^{5}} = - \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-7/3), substep=PowerRule(base=_u, exp=-7/3, context=_u**(-7/3), symbol=_u), context=_u**(-7/3), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x/(x**2*(1 - x**2)**(2/3) - (1 - x**2)**(2/3)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{3}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(\sqrt[3]{1 - x^{2}}\right)^{5}} = \frac{x}{- x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} + \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{- x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} + \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} = - \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}} - \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-7/3), substep=PowerRule(base=_u, exp=-7/3, context=_u**(-7/3), symbol=_u), context=_u**(-7/3), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**(7/3), symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=x/(x**2*(1 - x**2)**(2/3) - (1 - x**2)**(2/3)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{3}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{3}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{3}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{3}{4 \left(1 - x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$