Integral de e^(3x)/sqrte^(3x)-1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{\frac{u}{2}}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. que $u = \frac{u}{2}$.

               Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{u}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{\frac{u}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{\left(\sqrt{e}\right)^{3 x}}$.

         Luego que $du = - 3 e^{- \frac{3 x}{2}} \log{\left(\sqrt{e} \right)} dx$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{2}{3 u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      Método #3

      1. que $u = \left(\sqrt{e}\right)^{3 x}$.

         Luego que $du = 3 e^{\frac{3 x}{2}} \log{\left(\sqrt{e} \right)} dx$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

   El resultado es: $- x + \frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$