Integral de sin(log(x))/xx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

         2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

                  1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

                  2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                     que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

                  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                     $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto,

                     $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} + \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u} - \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{2 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$