Integral de log(1-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u \log{\left(u \right)} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{1 - x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{1 - x}\right)\, dx = - \int \frac{x}{1 - x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{1 - x} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

            El resultado es: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{1 - x} = - \frac{x}{x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- x - \log{\left(x - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} + 1+ \mathrm{constant}$