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Resolución de integrales/ x^2+1/ xdx/√(4x^2+1)^3

Integral de xdx/√(4x^2+1)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                  
  /                  
 |                   
 |        x          
 |  -------------- dx
 |               3   
 |     __________    
 |    /    2         
 |  \/  4*x  + 1     
 |                   
/                    
0
∫0∞x(4x2+1)3 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}}\, dx 
Integral(x/(sqrt(4*x^2 + 1))^3, (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(4x2+1)3=x4x24x2+1+4x2+1\frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}} = \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫18u4u+1+24u+1 du\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + 1} + 2 \sqrt{4 u + 1}}\, du

      1. que u=4u+1u = \sqrt{4 u + 1}.

        Luego que du=2du4u+1du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 1}} y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫14u2 du\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=∫1u2 du4\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −14u- \frac{1}{4 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −144u+1- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + 1}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −144x2+1- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(4x2+1)3=x4x24x2+1+4x2+1\frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}} = \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫18u4u+1+24u+1 du\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + 1} + 2 \sqrt{4 u + 1}}\, du

      1. que u=4u+1u = \sqrt{4 u + 1}.

        Luego que du=2du4u+1du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + 1}} y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫14u2 du\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=∫1u2 du4\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −14u- \frac{1}{4 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −144u+1- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + 1}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −144x2+1- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −144x2+1+constant- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−144x2+1+constant- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                                        
 |       x                        1       
 | -------------- dx = C - ---------------
 |              3               __________
 |    __________               /        2 
 |   /    2                4*\/  1 + 4*x  
 | \/  4*x  + 1                           
 |                                        
/
∫x(4x2+1)3 dx=C−144x2+1\int \frac{x}{\left(\sqrt{4 x^{2} + 1}\right)^{3}}\, dx = C - \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + 1}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.500.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/4
14\frac{1}{4} 
=
= 
1/4
14\frac{1}{4} 
1/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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