Integral de (x^(2))*(1+x^(6)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{3} + \frac{1}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{9} + \frac{u}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{9}}{9} + \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(x^{6} + 1\right) = x^{8} + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{9}}{9} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(x^{6} + 3\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(x^{6} + 3\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(x^{6} + 3\right)}{9}+ \mathrm{constant}$