Integral de e^x(x^2-x)/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\left(u + 1\right) e^{- u}}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u e^{u} - e^{u}}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u e^{u} - e^{u}}{u^{2}} = \frac{e^{u}}{u} - \frac{e^{u}}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{u}}{u^{2}}\, du$

               UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(_u)/_u**2, symbol=_u)

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u}$

            El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(u \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- u\right)}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\operatorname{Ei}{\left(- u \right)} - \frac{\operatorname{E}_{2}\left(u\right)}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\operatorname{Ei}{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} \left(x^{2} - x\right)}{x^{3}} = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} = \frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{x}}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{x^{2}}\, dx$

         UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(x)/x**2, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}$

      El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} \left(x^{2} - x\right)}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{x}}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{x^{2}}\, dx$

         UpperGammaRule(a=1, e=-2, context=exp(x)/x**2, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}$

      El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\operatorname{Ei}{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\operatorname{Ei}{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{E}_{2}\left(- x\right)}{x}+ \mathrm{constant}$