Integral de (cos(2*x)+sin(2*x))*exp(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - \int 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$.

      2. Para el integrando $2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + \int \left(- 4 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $5 \int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - \int \left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$.

      2. Para el integrando $- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$:

         que $u{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + \int \left(- 4 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $5 \int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$

   El resultado es: $\frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$