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Resolución de integrales/ cos(2*x)/ exp(x)/ sin(2*x)/ (cos(2*x)+sin(2*x))*exp(x)

Integral de (cos(2*x)+sin(2*x))*exp(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
  /                            
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 |                         x   
 |  (cos(2*x) + sin(2*x))*e  dx
 |                             
/                              
0
∫01(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))ex dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\, dx 
Integral((cos(2*x) + sin(2*x))*exp(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    (sin⁡(2x)+cos⁡(2x))ex=exsin⁡(2x)+excos⁡(2x)\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando exsin⁡(2x)e^{x} \sin{\left(2 x \right)}:

        que u(x)=sin⁡(2x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫exsin⁡(2x) dx=exsin⁡(2x)−∫2excos⁡(2x) dx\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - \int 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx.

      2. Para el integrando 2excos⁡(2x)2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}:

        que u(x)=2cos⁡(2x)u{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫exsin⁡(2x) dx=exsin⁡(2x)−2excos⁡(2x)+∫(−4exsin⁡(2x)) dx\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + \int \left(- 4 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫exsin⁡(2x) dx=exsin⁡(2x)−2excos⁡(2x)5 \int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - 2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}

        Por lo tanto,

        ∫exsin⁡(2x) dx=exsin⁡(2x)5−2excos⁡(2x)5\int e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando excos⁡(2x)e^{x} \cos{\left(2 x \right)}:

        que u(x)=cos⁡(2x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(2x) dx=excos⁡(2x)−∫(−2exsin⁡(2x)) dx\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - \int \left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx.

      2. Para el integrando −2exsin⁡(2x)- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}:

        que u(x)=−2sin⁡(2x)u{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(2x) dx=2exsin⁡(2x)+excos⁡(2x)+∫(−4excos⁡(2x)) dx\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + \int \left(- 4 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫excos⁡(2x) dx=2exsin⁡(2x)+excos⁡(2x)5 \int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)}

        Por lo tanto,

        ∫excos⁡(2x) dx=2exsin⁡(2x)5+excos⁡(2x)5\int e^{x} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}

    El resultado es: 3exsin⁡(2x)5−excos⁡(2x)5\frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (3sin⁡(2x)−cos⁡(2x))ex5\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (3sin⁡(2x)−cos⁡(2x))ex5+constant\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(3sin⁡(2x)−cos⁡(2x))ex5+constant\frac{\left(3 \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                                             x      x         
 |                        x          cos(2*x)*e    3*e *sin(2*x)
 | (cos(2*x) + sin(2*x))*e  dx = C - ----------- + -------------
 |                                        5              5      
/
∫(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))ex dx=C+3exsin⁡(2x)5−excos⁡(2x)5\int \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\, dx = C + \frac{3 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   E*cos(2)   3*E*sin(2)
- - -------- + ----------
5      5           5
15−ecos⁡(2)5+3esin⁡(2)5\frac{1}{5} - \frac{e \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{3 e \sin{\left(2 \right)}}{5} 
=
= 
1   E*cos(2)   3*E*sin(2)
- - -------- + ----------
5      5           5
15−ecos⁡(2)5+3esin⁡(2)5\frac{1}{5} - \frac{e \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{3 e \sin{\left(2 \right)}}{5} 
1/5 - E*cos(2)/5 + 3*E*sin(2)/5
Respuesta numérica [src] 
1.90927687995425
1.90927687995425

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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