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Resolución de integrales/ sinx+x/ x*sinx/ x*cosx/ x*sinx+x*cosx

Integral de x*sinx+x*cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |  (x*sin(x) + x*cos(x)) dx
 |                          
/                           
0
∫01(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(x*sin(x) + x*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+cos⁡(x)x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2(−xcos⁡(x+π4)+sin⁡(x+π4))\sqrt{2} \left(- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(−xcos⁡(x+π4)+sin⁡(x+π4))+constant\sqrt{2} \left(- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(−xcos⁡(x+π4)+sin⁡(x+π4))+constant\sqrt{2} \left(- x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                                                     
 | (x*sin(x) + x*cos(x)) dx = C + x*sin(x) - x*cos(x) + cos(x) + sin(x)
 |                                                                     
/
∫(xsin⁡(x)+xcos⁡(x)) dx=C+xsin⁡(x)−xcos⁡(x)+sin⁡(x)+cos⁡(x)\int \left(x \sin{\left(x \right)} + x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + x \sin{\left(x \right)} - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1 + 2*sin(1)
−1+2sin⁡(1)-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-1 + 2*sin(1)
−1+2sin⁡(1)-1 + 2 \sin{\left(1 \right)} 
-1 + 2*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.682941969615793
0.682941969615793

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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