Integral de ln(3x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\log{\left(3 x \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \log{\left(3 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(3 \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \log{\left(3 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(3 \right)}^{2}$

      El resultado es: $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 x + 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(3 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\log{\left(3 x \right)}^{2} = \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \log{\left(3 \right)} \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(3 \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \log{\left(3 \right)}^{2}\, dx = x \log{\left(3 \right)}^{2}$

      El resultado es: $x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 x + 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(3 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(9 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(9 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(9 \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$