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Resolución de integrales/ (7x-2)/ (x+7)/ (x+7)cos(7x-2)

Integral de (x+7)cos(7x-2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                        
 --                        
 2                         
  /                        
 |                         
 |  (x + 7)*cos(7*x - 2) dx
 |                         
/                          
0
∫0π2(x+7)cos⁡(7x−2) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(x + 7\right) \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx 
Integral((x + 7)*cos(7*x - 2), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+7)cos⁡(7x−2)=xcos⁡(7x−2)+7cos⁡(7x−2)\left(x + 7\right) \cos{\left(7 x - 2 \right)} = x \cos{\left(7 x - 2 \right)} + 7 \cos{\left(7 x - 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(7x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x - 2 \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x−2)7\frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(7x−2)7 dx=∫sin⁡(7x−2) dx7\int \frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}\, dx = \frac{\int \sin{\left(7 x - 2 \right)}\, dx}{7}

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x−2)7- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x−2)49- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7cos⁡(7x−2) dx=7∫cos⁡(7x−2) dx\int 7 \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx = 7 \int \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x−2)7\frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(7x−2)\sin{\left(7 x - 2 \right)}

      El resultado es: xsin⁡(7x−2)7+sin⁡(7x−2)+cos⁡(7x−2)49\frac{x \sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7} + \sin{\left(7 x - 2 \right)} + \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+7u{\left(x \right)} = x + 7 y que dv⁡(x)=cos⁡(7x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x - 2 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(7x−2)7\frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(7x−2)7 dx=∫sin⁡(7x−2) dx7\int \frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}\, dx = \frac{\int \sin{\left(7 x - 2 \right)}\, dx}{7}

      1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

        Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

        ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(7x−2)7- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x−2)49- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+7)cos⁡(7x−2)=xcos⁡(7x−2)+7cos⁡(7x−2)\left(x + 7\right) \cos{\left(7 x - 2 \right)} = x \cos{\left(7 x - 2 \right)} + 7 \cos{\left(7 x - 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(7x−2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x - 2 \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x−2)7\frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(7x−2)7 dx=∫sin⁡(7x−2) dx7\int \frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}\, dx = \frac{\int \sin{\left(7 x - 2 \right)}\, dx}{7}

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫sin⁡(u)7 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du7\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)7- \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(7x−2)7- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(7x−2)49- \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7cos⁡(7x−2) dx=7∫cos⁡(7x−2) dx\int 7 \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx = 7 \int \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx

        1. que u=7x−2u = 7 x - 2.

          Luego que du=7dxdu = 7 dx y ponemos du7\frac{du}{7}:

          ∫cos⁡(u)7 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{7}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du7\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{7}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)7\frac{\sin{\left(u \right)}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(7x−2)7\frac{\sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(7x−2)\sin{\left(7 x - 2 \right)}

      El resultado es: xsin⁡(7x−2)7+sin⁡(7x−2)+cos⁡(7x−2)49\frac{x \sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7} + \sin{\left(7 x - 2 \right)} + \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(7x−2)7+sin⁡(7x−2)+cos⁡(7x−2)49+constant\frac{x \sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7} + \sin{\left(7 x - 2 \right)} + \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(7x−2)7+sin⁡(7x−2)+cos⁡(7x−2)49+constant\frac{x \sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7} + \sin{\left(7 x - 2 \right)} + \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                             
 |                               cos(-2 + 7*x)   x*sin(-2 + 7*x)                
 | (x + 7)*cos(7*x - 2) dx = C + ------------- + --------------- + sin(-2 + 7*x)
 |                                     49               7                       
/
∫(x+7)cos⁡(7x−2) dx=C+xsin⁡(7x−2)7+sin⁡(7x−2)+cos⁡(7x−2)49\int \left(x + 7\right) \cos{\left(7 x - 2 \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(7 x - 2 \right)}}{7} + \sin{\left(7 x - 2 \right)} + \frac{\cos{\left(7 x - 2 \right)}}{49}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  50*cos(2)   48*sin(2)   pi*cos(2)
- --------- + --------- - ---------
      49          49          14
−πcos⁡(2)14−50cos⁡(2)49+48sin⁡(2)49- \frac{\pi \cos{\left(2 \right)}}{14} - \frac{50 \cos{\left(2 \right)}}{49} + \frac{48 \sin{\left(2 \right)}}{49} 
=
= 
  50*cos(2)   48*sin(2)   pi*cos(2)
- --------- + --------- - ---------
      49          49          14
−πcos⁡(2)14−50cos⁡(2)49+48sin⁡(2)49- \frac{\pi \cos{\left(2 \right)}}{14} - \frac{50 \cos{\left(2 \right)}}{49} + \frac{48 \sin{\left(2 \right)}}{49} 
-50*cos(2)/49 + 48*sin(2)/49 - pi*cos(2)/14
Respuesta numérica [src] 
1.40876309736283
1.40876309736283

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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