Integral de (x^2-3x)ln(x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)} = x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x \log{\left(x + 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 4\, dx = 4 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - 3 x + 6 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2} - 3 x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(x - 3\right) = x^{2} - 3 x$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x + 2} = \frac{x^{2}}{3} - \frac{13 x}{6} + \frac{13}{3} - \frac{26}{3 \left(x + 2\right)}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{13 x}{6}\right)\, dx = - \frac{13 \int x\, dx}{6}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 x^{2}}{12}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{13}{3}\, dx = \frac{13 x}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{26}{3 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{26 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{13 x^{2}}{12} + \frac{13 x}{3} - \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)} = x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x \log{\left(x + 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 4\, dx = 4 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - 3 x + 6 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$