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Resolución de integrales/ (x+2)/ x^2-3/ (x^2-3x)ln(x+2)

Integral de (x^2-3x)ln(x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
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 |  \x  - 3*x/*log(x + 2) dx
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0
∫01(x2−3x)log⁡(x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)}\, dx 
Integral((x^2 - 3*x)*log(x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−3x)log⁡(x+2)=x2log⁡(x+2)−3xlog⁡(x+2)\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)} = x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x \log{\left(x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} y que dv⁡(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

        Entonces du⁡(x)=1x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x33(x+2) dx=∫x3x+2 dx3\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x+2=x2−2x+4−8x+2\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8x+2) dx=−8∫1x+2 dx\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(x+2)- 8 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x33−x2+4x−8log⁡(x+2)\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x39−x23+4x3−8log⁡(x+2)3\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3xlog⁡(x+2)) dx=−3∫xlog⁡(x+2) dx\int \left(- 3 x \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

          Entonces du⁡(x)=1x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x22(x+2) dx=∫x2x+2 dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x+2=x−2+4x+2\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫4x+2 dx=4∫1x+2 dx\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. que u=x+2u = x + 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+2)4 \log{\left(x + 2 \right)}

            El resultado es: x22−2x+4log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: x24−x+2log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x2log⁡(x+2)2+3x24−3x+6log⁡(x+2)- \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - 3 x + 6 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x3log⁡(x+2)3−x39−3x2log⁡(x+2)2+13x212−13x3+26log⁡(x+2)3\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} y que dv⁡(x)=x2−3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2} - 3 x.

      Entonces du⁡(x)=1x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(x−3)=x2−3xx \left(x - 3\right) = x^{2} - 3 x

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3x) dx=−3∫x dx\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −3x22- \frac{3 x^{2}}{2}

        El resultado es: x33−3x22\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x33−3x22x+2=x23−13x6+133−263(x+2)\frac{\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}}{x + 2} = \frac{x^{2}}{3} - \frac{13 x}{6} + \frac{13}{3} - \frac{26}{3 \left(x + 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x23 dx=∫x2 dx3\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: x39\frac{x^{3}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−13x6) dx=−13∫x dx6\int \left(- \frac{13 x}{6}\right)\, dx = - \frac{13 \int x\, dx}{6}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −13x212- \frac{13 x^{2}}{12}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫133 dx=13x3\int \frac{13}{3}\, dx = \frac{13 x}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−263(x+2)) dx=−26∫1x+2 dx3\int \left(- \frac{26}{3 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{26 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −26log⁡(x+2)3- \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

      El resultado es: x39−13x212+13x3−26log⁡(x+2)3\frac{x^{3}}{9} - \frac{13 x^{2}}{12} + \frac{13 x}{3} - \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−3x)log⁡(x+2)=x2log⁡(x+2)−3xlog⁡(x+2)\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)} = x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x \log{\left(x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} y que dv⁡(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

        Entonces du⁡(x)=1x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x33(x+2) dx=∫x3x+2 dx3\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x+2=x2−2x+4−8x+2\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8x+2) dx=−8∫1x+2 dx\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(x+2)- 8 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x33−x2+4x−8log⁡(x+2)\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x39−x23+4x3−8log⁡(x+2)3\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3xlog⁡(x+2)) dx=−3∫xlog⁡(x+2) dx\int \left(- 3 x \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x+2)u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

          Entonces du⁡(x)=1x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x22(x+2) dx=∫x2x+2 dx2\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x+2=x−2+4x+2\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫4x+2 dx=4∫1x+2 dx\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

              1. que u=x+2u = x + 2.

                Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+2)4 \log{\left(x + 2 \right)}

            El resultado es: x22−2x+4log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: x24−x+2log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x2log⁡(x+2)2+3x24−3x+6log⁡(x+2)- \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - 3 x + 6 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x3log⁡(x+2)3−x39−3x2log⁡(x+2)2+13x212−13x3+26log⁡(x+2)3\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x3log⁡(x+2)3−x39−3x2log⁡(x+2)2+13x212−13x3+26log⁡(x+2)3+constant\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3log⁡(x+2)3−x39−3x2log⁡(x+2)2+13x212−13x3+26log⁡(x+2)3+constant\frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                  
 |                                        3       2                      2               3           
 | / 2      \                     13*x   x    13*x    26*log(2 + x)   3*x *log(2 + x)   x *log(2 + x)
 | \x  - 3*x/*log(x + 2) dx = C - ---- - -- + ----- + ------------- - --------------- + -------------
 |                                 3     9      12          3                2                3      
/
∫(x2−3x)log⁡(x+2) dx=C+x3log⁡(x+2)3−x39−3x2log⁡(x+2)2+13x212−13x3+26log⁡(x+2)3\int \left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = C + \frac{x^{3} \log{\left(x + 2 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}}{2} + \frac{13 x^{2}}{12} - \frac{13 x}{3} + \frac{26 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  121   26*log(2)   15*log(3)
- --- - --------- + ---------
   36       3           2
−26log⁡(2)3−12136+15log⁡(3)2- \frac{26 \log{\left(2 \right)}}{3} - \frac{121}{36} + \frac{15 \log{\left(3 \right)}}{2} 
=
= 
  121   26*log(2)   15*log(3)
- --- - --------- + ---------
   36       3           2
−26log⁡(2)3−12136+15log⁡(3)2- \frac{26 \log{\left(2 \right)}}{3} - \frac{121}{36} + \frac{15 \log{\left(3 \right)}}{2} 
-121/36 - 26*log(2)/3 + 15*log(3)/2
Respuesta numérica [src] 
-1.12879451095315
-1.12879451095315

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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